\(e\)が無理数であることの証明
以下の証明は@von_archimedeanさんのツイートを自分の理解のために清書したものです。
https://twitter.com/von_archimedean/status/813559806371897344
背理法で証明する。
\(e\)が有理数であると仮定すると、\(e\)は正整数\(m \geq 1\)と正整数\(n\)を使って、 \[ e=\frac n m \] と表せる。この両辺に\(m!\)を掛けて、 \[ m!e = (m-1)!n \] を得る。ここで、\(e\)の定義から、 \[ e = \sum_{k=0}^\infty \frac 1 {k!} \] であるので、 \[ (m-1)!n = \sum_{k=0}^\infty \frac{m!}{k!} \] となる。この左辺は正整数だから、右辺も正整数になる。
ところで、右辺の\(m\)までの部分和、 \[ \sum_{k=0}^m \frac{m!}{k!} \] が正整数であることから、\(m+1\)以降の級数、 \[ \sum_{k=m+1}^\infty \frac{m!}{k!} \] も正整数となる（\(\heartsuit\)）。
ところがこの級数の各項は、\(j \geq 1\)に対して、 \[ \begin{align*} \frac{m!}{(m+j)!} &= \frac1{m+1}\cdot\frac1{m+2}\cdots\frac1{m+j} \\ & \leq \frac1{1+1}\cdot\frac1{1+2}\cdots\frac1{1+j} \\ & \leq \frac1{2^j} \quad \text{（等号成立は$j=1$であるとき）} \\ \end{align*} \] が言えることから、 \[ \begin{align*} \sum_{k=m+1}^\infty \frac{m!}{k!} & < \sum_{j=1}^\infty \frac1{2^j} \\ &= 1 \\ \end{align*} \] となり、\(\heartsuit\)に矛盾する。
よって、\(e\)は無理数である。
（証明終わり）
途中の評価は、@lll_anna_lll さんに教えていただきました。
https://twitter.com/lll_anna_lll/status/813720829703778304
