環準同型の核

2016年07月10日(日)  List  Edit  New

$R$と$S$を環とします。

$R$から$S$への写像$f:R \to S$が環準同型であるとは、$R$の任意の要素$x,y$について、
$$
\begin{cases}
f(xy) &= f(x)f(y) \\
f(x+y) &= f(x) + f(y) \\
f(1_R) &= 1_S \\
\end{cases}
$$が成り立つことです($1_R$は$R$の乗法単位元で、$1_S$は$S$の乗法単位元。ここでは乗法単位元の存在を仮定しています)。

環準同型$f$の核とは、
$$
\{ x \in R \mid f(x) = 0 \}
$$という集合で、これを$\ker(f)$と書きます($0$は$S$の加法単位元)。



言い換えるなら、写像$f$の定義域を$\ker(f)$に制限した写像を$g$と置くと、写像$g$の像(イメージ)は$\{0\}$です。


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結城浩(ゆうき・ひろし) @hyuki

『数学ガール』作者。 結城メルマガWeb連載を毎週書いてます。 文章書きとプログラミングが好きなクリスチャン。2014年日本数学会出版賞受賞。

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