体の拡大が順序拡大になるための必要十分条件

2016年07月22日(金)  List  Edit  New

命題

$K$を順序体とする。

$K$におけるすべての正元の集合を$P_K$とする。

体の拡大$L/K$が順序拡大となるように$L$に順序を入れるには、$P_K$の元$p_i$と、$L$の元$x_i$に関して、
$$
\sum_i p_i x^2_i = 0 \,\Longrightarrow\, \text{すべての$i$について$x_i = 0$}
$$
が成り立つことが必要十分である($\sum_i$は有限和)。

体の拡大$L/K$が順序拡大であるとは、$K$において$x \leq y$なら$L$においても$x \leq y$であることをいう。

参考

『数 体系と歴史』(足立恒雄)p.155系7.7

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結城浩(ゆうき・ひろし) @hyuki

『数学ガール』作者。 結城メルマガWeb連載を毎週書いてます。 文章書きとプログラミングが好きなクリスチャン。2014年日本数学会出版賞受賞。

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