数学の問題(解答編)

2016年07月25日(月)  List  Edit  New


問題

https://story.hyuki.net/20160724225734/

どんな正の整数$n$に対しても、
$$
\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom n k = 0
$$
が成り立つことを証明してください。

ただし、
$$
\binom n k = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}
$$
とします。



証明1(二項定理を使う)

二項定理より、
$$
\sum_{k=0}^{n} \binom n k x^{n-k}y^k = (x + y)^n
$$
が成り立つ。$x = 1, y = -1$とすると、
$$
\sum_{k=0}^{n} \binom n k 1^{n-k}(-1)^k = (1 - 1)^n
$$
なので、
$$
\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom n k = 0
$$
が成り立つ。

証明2(パスカルの三角形を使う)

有限和、
$$
S_n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom n k
$$
の値は、パスカルの三角形で$n$行目(最上行を$0$行目とする)に並ぶ数の列の符号を交互に正負としたものの和に等しい。

たとえば、$n = 3$のときには、$1, 3, 3, 1$を使って、
$$
S_3 = 1 - 3 + 3 - 1
$$
となる。

また、$n = 4$のときには、$1, 4, 6, 4, 1$を使って、
$$
S_4 = 1 - 4 + 6 - 4 + 1
$$
となる。

パスカルの三角形で$n$行目を作るときには、$n-1$行目の一つの数を《斜め左下》と《斜め右下》に分配して作る。ところが、$S_n$を計算する上では《斜め左下》と《斜め右下》の符号は正負逆になる。したがって$S_n$の値は必ず$0$となる。

(ここに、図を描く)

(ここに、文章で説明した話を数式で書く)


みなさんの解答は、以下のツイートにリプの形でリンクされています。


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結城浩(ゆうき・ひろし) @hyuki

『数学ガール』作者。 結城メルマガWeb連載を毎週書いてます。 文章書きとプログラミングが好きなクリスチャン。2014年日本数学会出版賞受賞。

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