2016年08月06日(土)

問題

\(\log_{10}314159\)が無理数であることを示せ。

解答

\(\log_{10}314159\)が実数であることは前提とします。

背理法を使って証明します。\(\log_{10}314159\)が無理数ではない(有理数である)と仮定すると、 \[ \log_{10}314159 = \dfrac{p}{q} \] と表すことができます。ここで\(p\)\(q\)はどちらも整数で\(q \neq 0\)です。

\(\log\)の定義より、 \[ 10^{p/q} = 314159 \] が成り立ちます。この両辺を\(q\)乗して、 \[ 10^{p} = 314159^q \] が成り立ちます。左辺は\(10\)の倍数になりますが、右辺は\(10\)の倍数になりません。これは矛盾です。

よって、背理法により\(\log_{10}314159\)が無理数であることが証明できました。

(証明終わり)

https://twitter.com/hyuki/status/761699911557521408


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結城浩(ゆうき・ひろし) @hyuki

『数学ガール』作者。 結城メルマガWeb連載を毎週書いてます。 文章書きとプログラミングが好きなクリスチャン。2014年日本数学会出版賞受賞。

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