$\log_{10}314159$が無理数であることの証明

2016年08月06日(土)  List  Edit  New

問題

$\log_{10}314159$が無理数であることを示せ。

解答

$\log_{10}314159$が実数であることは前提とします。

背理法を使って証明します。$\log_{10}314159$が無理数ではない(有理数である)と仮定すると、
$$
\log_{10}314159 = \dfrac{p}{q}
$$
と表すことができます。ここで$p$と$q$はどちらも整数で$q \neq 0$です。

$\log$の定義より、
$$
10^{p/q} = 314159
$$
が成り立ちます。この両辺を$q$乗して、
$$
10^{p} = 314159^q
$$
が成り立ちます。左辺は$10$の倍数になりますが、右辺は$10$の倍数になりません。これは矛盾です。

よって、背理法により$\log_{10}314159$が無理数であることが証明できました。

(証明終わり)


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結城浩(ゆうき・ひろし) @hyuki

『数学ガール』作者。 結城メルマガWeb連載を毎週書いてます。 文章書きとプログラミングが好きなクリスチャン。2014年日本数学会出版賞受賞。

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