素数は無数に存在する

2016年09月11日(日)  List  Edit  New

命題

素数は無数に存在する。

証明

背理法を用いる。素数が有限個しか存在しないと仮定し、その個数を$n$とする。$2$と$3$は素数であるから$n \geqq 2$であり、すべての素数は、
$$
p_1,\ldots,p_n
$$
と列挙できる。

ここで、すべての素数の積に$1$加えた数を$q$とする。すなわち、
$$
q = p_1\cdots p_n + 1
$$
である。

$q$は$1$より大きい整数で、素数$p_1,\ldots,p_n$のどれでも割り切れない。したがって$q$は素数である。

ところで$q$は、どの素数$p_1,\ldots,p_n$よりも大きい。したがって$q$は素数ではない。

これは矛盾である。したがって素数は無数に存在する。(証明終わり)

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結城浩(ゆうき・ひろし) @hyuki

『数学ガール』作者。 結城メルマガWeb連載を毎週書いてます。 文章書きとプログラミングが好きなクリスチャン。2014年日本数学会出版賞受賞。

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