eが無理数であることの証明

2016年12月27日(火)  List  Edit  New

$e$が無理数であることの証明

以下の証明は@von_archimedeanさんのツイートを自分の理解のために清書したものです。



背理法で証明する。

$e$が有理数であると仮定すると、$e$は正整数$m \geq 1$と正整数$n$を使って、
$$
e=\frac n m
$$
と表せる。この両辺に$m!$を掛けて、
$$
m!e = (m-1)!n
$$
を得る。ここで、$e$の定義から、
$$
e = \sum_{k=0}^\infty \frac 1 {k!}
$$
であるので、
$$
(m-1)!n = \sum_{k=0}^\infty \frac{m!}{k!}
$$
となる。この左辺は正整数だから、右辺も正整数になる。

ところで、右辺の$m$までの部分和、
$$
\sum_{k=0}^m \frac{m!}{k!}
$$
が正整数であることから、$m+1$以降の級数、
$$
\sum_{k=m+1}^\infty \frac{m!}{k!}
$$
も正整数となる($\heartsuit$)。

ところがこの級数の各項は、$j \geq 1$に対して、
$$
\begin{align*}
\frac{m!}{(m+j)!} &= \frac1{m+1}\cdot\frac1{m+2}\cdots\frac1{m+j} \\
& \leq \frac1{1+1}\cdot\frac1{1+2}\cdots\frac1{1+j} \\
& \leq \frac1{2^j} \quad \text{(等号成立は$j=1$であるとき)} \\
\end{align*}
$$
が言えることから、
$$
\begin{align*}
\sum_{k=m+1}^\infty \frac{m!}{k!}
& < \sum_{j=1}^\infty \frac1{2^j} \\
&= 1 \\
\end{align*}
$$
となり、$\heartsuit$に矛盾する。

よって、$e$は無理数である。

(証明終わり)




途中の評価は、@lll_anna_lll さんに教えていただきました。


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結城浩(ゆうき・ひろし) @hyuki

『数学ガール』作者。 結城メルマガWeb連載を毎週書いてます。 文章書きとプログラミングが好きなクリスチャン。2014年日本数学会出版賞受賞。

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