2017年02月25日(土)

命題

二つの実数列 \(\{ a_n \}\)\(\{ b_n \}\) があり、\(n \to \infty\) での極限値が、それぞれ \(a\)\(b\) であるとする。任意の正整数\(n\)について\(a_n < b_n\)が成り立つとき、\(a > b\)にはならない。

証明

\(a > b\)になってしまうとしたら、\(a_n > b_n\)となる正整数\(n\)が存在するので、前提条件に反することを示す。

\(\epsilon = \dfrac{a - b}{2}\)と置くと、\(\epsilon > 0\)である。

\(n \to \infty\)のとき、\(a_n \to a\)だから、十分大きな正整数\(N_a\)を選べば、\(N_a\)より大きなすべての正整数\(n\)について\(a - \epsilon < a_n < a + \epsilon\)が成り立つ。

同様に、十分大きな正整数\(N_b\)を選べば、\(N_b\)より大きなすべての正整数\(n\)について\(b - \epsilon < b_n < b + \epsilon\)が成り立つ。

https://img.textfile.org/2017-02-25_line.jpg

\(N > N_a, N > N_b\)となる正整数\(N\)を選ぶと、\(a - \epsilon < a_N < a + \epsilon\)ならびに\(b - \epsilon < b_N < b + \epsilon\)が成り立つ。

ここで、\(a - \epsilon = \dfrac{a+b}{2} < a_N\)および\(b + \epsilon = \dfrac{a+b}{2} > b_N\)なので、 \[ a_N > b_N \] がいえた。

(証明終わり)

補足

関連ツイートが以下にあります。

https://twitter.com/hyuki/status/835254287001255936 https://twitter.com/hyuki/status/835351071249686528

http://rentwi.textfile.org/?835254287001255936


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結城浩(ゆうき・ひろし) @hyuki

『数学ガール』作者。 結城メルマガWeb連載を毎週書いてます。 文章書きとプログラミングが好きなクリスチャン。2014年日本数学会出版賞受賞。

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